Wochentag eines Datums berechnen: So funktioniert Zellers Kongruenz

Warum interessiert der Wochentag?

Wer den Wochentag eines vergangenen oder zukünftigen Datums wissen möchte, greift meist sofort zum Rechner. Hinter der Berechnung steckt jedoch eine elegante mathematische Formel aus dem 19. Jahrhundert: Zellers Kongruenz, entwickelt vom deutschen Mathematiker Christian Zeller.

Die Formel im Überblick

Zellers Kongruenz für den gregorianischen Kalender lautet:

h = (q + ganzzahlig((13*(m+1))/5) + K + ganzzahlig(K/4) + ganzzahlig(J/4) - 2*J) mod 7

Dabei gelten folgende Variablendefinitionen:

• h ist der Wochentag (0 = Samstag, 1 = Sonntag, 2 = Montag, 3 = Dienstag, 4 = Mittwoch, 5 = Donnerstag, 6 = Freitag)
• q ist der Tag des Monats (1 bis 31)
• m ist der Monat (3 = März, 4 = April … 14 = Februar; Januar und Februar zählen als 13. und 14. Monat des Vorjahres)
• K sind die letzten beiden Ziffern des Jahres
• J sind die ersten beiden Ziffern des Jahres (Jahrhundert)
• ganzzahlig() bedeutet Abrunden auf die nächste ganze Zahl (Gaußklammer)
• mod 7 gibt den Rest der Division durch 7

Januar und Februar als Sonderfall

Januar und Februar werden in Zellers System als Monate 13 und 14 des Vorjahres behandelt. Ein Datum im Januar 2026 wird also als Monat 13 des Jahres 2025 gerechnet. K und J werden entsprechend aus dem Vorjahr berechnet.

Schrittweise Berechnung am Beispiel

Gesucht: Wochentag des 20. Mai 2026.

Schritt 1: Variablen bestimmen.

• q = 20 (Tag)
• m = 5 (Mai ist der 5. Monat, kein Sonderfall)
• K = 26 (letzte zwei Ziffern von 2026)
• J = 20 (erste zwei Ziffern von 2026)

Schritt 2: Terme berechnen.

• ganzzahlig((13 * (5+1)) / 5) = ganzzahlig(78/5) = ganzzahlig(15,6) = 15
• ganzzahlig(26/4) = ganzzahlig(6,5) = 6
• ganzzahlig(20/4) = ganzzahlig(5) = 5
• 2 * 20 = 40

Schritt 3: Summe.

• h = (20 + 15 + 26 + 6 + 5 - 40) mod 7
• h = 32 mod 7
• h = 32 - 4*7 = 32 - 28 = 4

Schritt 4: Zuordnung.

• h = 4 entspricht Mittwoch.

Der 20. Mai 2026 ist tatsächlich ein Mittwoch.

Warum ist der Ergebnis-Index verschoben?

In Zellers Original beginnt der Zähler bei 0 für Samstag. Das klingt unintuitiv, ist aber mathematisch konsistent mit dem historischen Sonnenzyklus. Wer lieber mit 0 = Sonntag oder 1 = Montag arbeitet, addiert nach der mod-7-Rechnung einen Korrekturwert und nimmt erneut mod 7.

Praktische Relevanz heute

Zellers Kongruenz ist die Grundlage vieler Software-Implementierungen für Datumsberechnungen. Sprachen wie Python, JavaScript oder Java nutzen intern ähnliche Algorithmen. Im Alltag ist es schneller, den Rechner auf dieser Seite zu verwenden, der den Wochentag sofort neben der Kalenderwoche ausgibt.

Dennoch lohnt es sich, die Logik hinter der Formel zu kennen. Wer versteht, dass die Wochentag-Berechnung auf dem 7-Tage-Zyklus und einem festen Referenzpunkt basiert, begreift auch, warum Kalenderreformen wie der Sprung vom Julianischen zum Gregorianischen Kalender 1582 die Wochentag-Zählung nicht verändert haben.

Alternative: Doomsday-Algorithmus

Als mentale Abkürzung eignet sich der Doomsday-Algorithmus von John Horton Conway. Er nutzt die Tatsache, dass bestimmte leicht merkbare Daten (4.4., 6.6., 8.8., 10.10., 12.12. sowie der letzte Tag im Februar) immer auf denselben Wochentag fallen. Wer diesen Anker-Wochentag des Jahres kennt, kann jeden anderen Wochentag durch einfache Addition berechnen.